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12.4 計算範例

Example calculations

以下計算範例說明了一些典型問題的處理程序。

範例 1：每個滾子的等效負載 P

Example 1: Equivalent load P per roller

假設條件 (Assumption)：

  • 線性導軌型號 R 6 (Linear guides type R 6)
  • AC 6 滑架，8 個滾子 (AC 6 cage with 8 rollers, RA = 8)
  • 負載 F = 350 N
  • 槓桿臂距離 X = 120 mm
範例 1 力學示意圖 - 單導軌配置

圖 1：單導軌配置的力學模型，顯示負載 F、槓桿臂距離 X 和負載長度 Kt

範例 1 力學示意圖 - 雙導軌配置

圖 2：雙導軌配置的俯視圖，顯示力的分布

對於 AC 6 型滾子滑架，適用以下條件：

步驟 1：計算負載長度 Kt

Kt = (RA – 1) · t = (8 – 1) · 9 = 63 mm

步驟 2：確定修正因子

Rtmin = 1 滾子（根據第 5.1 章 AC 6 滑架的技術規格）

C = 530 N（每個滾子的最大允許負載能力）

步驟 3：計算每個滾子的等效負載 P

P = (F · X) / (Kt · 2) · (1 / Rtmin)
P = (350 · 120) / (63 · 2) · (1 / 1)
P = 42,000 / 126 = 334 N

✓ P (334 N) 小於 C (530 N)，因此此設計是正確的。

注意：

力的非對稱分布最安全的考慮方式是減少導軌的負載滾動元件數量 (Rtmin)。

The asymmetric distribution of force is most safely taken into account when the load on the number of load bearing rolling elements (Rtmin) for the guideway is reduced.

符號說明 (Symbol Definitions)

P 每個滾子的等效負載 (N) Equivalent load in N per roller
F 負載 (N) Load in N
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
X X 軸上的槓桿臂距離 (mm) Lever arm distance on x-axis in mm
RA 每個滑架的總可用滾動元件數 Total available rolling element per cage
Rtmin 修正因子 Correction factor
t 滑架分度 (mm) Cage division in mm
Kt 負載長度 (mm) Load-bearing length in mm

範例 2：每個滾子的等效負載 P（20 個滾子）

Example 2: Equivalent load P per roller (20 rollers)

假設條件 (Assumption)：

  • 線性導軌型號 R 6 (Linear guides type R 6)
  • 滾子滑架型號 AC 6，20 個滾子 (AC 6 cage with 20 rollers, RA = 20)
  • 負載 F = 6,500 N（垂直作用於雙導軌系統）
  • C = 530 N（每個滾子的最大允許負載能力，根據第 5.1 章 AC 6 滑架的技術規格）
範例 2 雙導軌配置示意圖

圖 3：雙導軌配置，負載垂直作用於系統中心

計算步驟：

步驟 1：計算負載滾子數量

由於負載垂直作用，雙導軌系統中每條導軌承受一半負載。

每個滑架中負載的滾子數量為：

RT = RA/2 = 20/2 = 10 滾子

步驟 2：計算每個滾子的等效負載 P

公式說明：

  • F · (1/2)：每條導軌承受一半的總負載
  • (1/RT)：負載分配到每個負載滾子
P = F · (1/2) · (1/RT)
P = 6,500 · (1/2) · (1/10)
P = 3,250 / 10 = 325 N

✓ P (325 N) 小於 C (530 N)，因此此設計是正確的。安全係數 = 530 / 325 ≈ 1.63

符號說明 (Symbol Definitions)

P 每個滾子的等效負載 (N) Equivalent load in N per roller
F 總負載 (N) Total load in N
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
RA 每個滑架的總滾子數 Total number of rollers per cage
RT 每個滑架的負載滾子數 Number of load-bearing rollers per cage

範例 3：每個滾珠的等效負載 P

Example 3: Equivalent load P per ball

假設條件 (Assumption)：

  • 剛性滑塊結構 (Rigid structure)
  • 線性導軌型號 R 6 (Linear guides type R 6)
  • 滑架型號 AK 6，12 個滾珠 (AK 6 cage with 12 balls, RA = 12)
  • 滑架分度 t = 9 mm
  • 負載 F = 240 N
  • 槓桿臂距離 X = 75 mm（F 到對向力的距離）
  • C = 65 N（每個滾珠的最大允許負載能力，根據第 5.1 章 AK 6 滑架的技術規格）
範例 3 力學配置示意圖

圖 4：滾珠滑架配置側視圖，顯示偏心負載作用、負載長度 Kt 和槓桿臂距離 X

範例 3 雙導軌俯視圖

圖 5：雙導軌配置俯視圖，顯示負載 F 在兩條導軌之間的作用方式

計算步驟：

步驟 1：計算負載長度 Kt

Kt = (RA – 1) · t = (12 – 1) · 9 = 99 mm

步驟 2：確定修正因子 Rtmin

根據第 12.3 章的 Rtmin 計算圖表：

  • 結構類型：剛性結構（A）
  • X/Kt = 75/99 = 0.76（小於 1）
  • 查圖得：Rtmin ≈ Rt/2
Rt = RA/2 = 12/2 = 6 滾珠
Rtmin = 6/2 = 3 滾珠

步驟 3：計算每個滾珠的等效負載 P

對於雙導軌配置，公式為：

P = (F/Kt) · (X/2) · (1/Rtmin)
P = (240/99) · (75/2) · (1/3)
P = 2.424 · 37.5 · 0.333
P ≈ 30.3 N

✓ P (30.3 N) 小於 C (65 N)，因此此設計是正確的。安全係數 = 65 / 30.3 ≈ 2.15

符號說明 (Symbol Definitions)

t 滑架分度 (mm) Cage division in mm
P 每個滾珠的等效負載 (N) Equivalent load in N per ball
F 負載 (N) Load in N
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
Rtmin 修正因子 Correction factor
RA 每個滑架的總可用滾動元件數 Total available rolling elements per cage
Rt 每個滑架的負載滾動元件數 Number of load-bearing rolling elements per cage
Kt 負載長度 (mm) Load-bearing length in mm

範例 4：RNG 導軌每個滾子的等效負載 P 和合適尺寸

Example 4: Equivalent load P per roller and suitable size for RNG guideways

假設條件 (Assumption)：

  • RNG 型線性導軌 (RNG type linear guideway)
  • 滾子滑架型號 KBN，10 個滾子 (KBN cage with 10 rollers, RA = 10)
  • 負載 F = 15,000 N
  • 槓桿臂距離 X = 50 mm（X 軸上的距離）
  • 線性導軌中心距離 Q = 100 mm
範例 4 RNG 導軌配置示意圖

圖 6：RNG 導軌雙軌配置示意圖，顯示負載作用點與中心距離

計算步驟：

步驟 1：計算負載滾子數 RT

對於雙排滾子配置，實際負載滾子數為總數的一半：

RT = RA/2 = 10/2 = 5 滾子

步驟 2：計算偏心負載產生的等效負載 P₁

由於負載作用點偏離中心，產生力矩效應：

P₁ = F · (X/Q) · (1/RT)
P₁ = 15,000 · (50/100) · (1/5)
P₁ = 15,000 · 0.5 · 0.2 = 1,500 N

步驟 3：計算垂直負載產生的等效負載 P₂

垂直負載均勻分配到所有滾子：

P₂ = F/RA
P₂ = 15,000/10 = 1,500 N

步驟 4：計算總等效負載 P

總負載為偏心負載與垂直負載之和：

P = P₁ + P₂ = 1,500 + 1,500 = 3,000 N

步驟 5：選擇合適的 KBN 滑架尺寸

根據下方 KBN 滑架負載能力表，需要選擇 C > P 的型號：

  • KBN 4: C = 850 N < 3,000 N ✗
  • KBN 6: C = 1,800 N < 3,000 N ✗
  • KBN 9: C = 3,900 N > 3,000 N ✓

✓ 選擇 KBN 9 型滑架，C = 3,900 N > P = 3,000 N。安全係數 = 3,900 / 3,000 ≈ 1.30

符號說明 (Symbol Definitions)

P (P₁, P₂) 每個滾子的等效負載 (N) Equivalent loads in N per roller
F 負載 (N) Load in N
X X 軸上的槓桿臂距離 (mm) Lever arm distance on x-axis in mm
Q 線性導軌的中心距離 (mm) Medium linear guideway distance in mm
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
RA 每個滑架的總可用滾動元件數 Total available rolling element per cage
Rt 每個滑架的負載滾動元件數 Number of load-bearing rolling elements per cage

KBN 滑架尺寸與負載能力 (KBN Cage Dimensions and Load Capacity)

型號
Type		 尺寸
Size		 滾子直徑 Dw
(mm)		 分度 t
(mm)		 寬度 w
(mm)		 每個滾子負載能力 C
(N)
KBN 4 4.5 6.5 約 4 850
6 6.5 8.5 約 5 1,800
9 9 12 約 7.5 3,900
12 12 15 約 9 6,500

範例 5：每個滾針的等效負載 P

Example 5: Equivalent load P per needle

假設條件 (Assumption)：

  • 線性導軌型號 N/O 2025 (Linear guideway type N/O 2025)
  • 滑架型號 SHW 15，滑架長度 K = 194 mm (SHW 15 cage with length K = 194 mm)
  • 滑架端部寬度 w = 2.9 mm（根據 SHW 15 滑架的技術規格）
  • 滾針分度 t = 4 mm
  • 負載 F = 5,000 N
  • 槓桿臂距離 X = 280 mm
  • 導軌中心距離 Q = 75 mm
  • C = 750 N（每個滾針的最大允許負載能力，根據技術規格）
範例 5 滾針導軌配置示意圖

圖 8：N/O 2025 滾針導軌配置示意圖

計算步驟：

步驟 1：計算滑架總滾針數 RA

根據滑架長度、端部寬度和滾針分度計算：

RA = [(K - 2w + 1)/t] · 2
RA = [(194 - 2×2.9 + 1)/4] · 2
RA = [(194 - 5.8 + 1)/4] · 2
RA = [189.2/4] · 2 = 47.3 · 2 ≈ 94.6 ≈ 96 滾針

步驟 2：計算負載滾針數 Rt

實際負載的滾針數為總數的一半：

Rt = RA/2 = 96/2 = 48 滾針

步驟 3：計算每個滾針的等效負載 P

考慮偏心負載效應，計算等效負載：

P = F · (X/Q) · (1/Rt)
P = 5,000 · (280/75) · (1/48)
P = 5,000 · 3.733 · 0.0208
P ≈ 388.3 N

✓ P (388.3 N) 小於 C (750 N)，因此此設計是正確的。安全係數 = 750 / 388.3 ≈ 1.93

符號說明 (Symbol Definitions)

W 從滑架起點到第一個滾動元件中心的距離 (mm) Distance from cage start to the middle of the first rolling element in mm
t 滑架分度 (mm) Cage division in mm
P 每個滾針的等效負載 (N) Equivalent load in N per needle
F 負載 (N) Load in N
X X 軸上的槓桿臂距離 (mm) Lever arm distance on x-axis in mm
Q 導軌中心距離 (mm) Medium linear guideway distance in mm
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
Rt 每個滑架的負載滾動元件數 Number of load-bearing rolling elements per cage
RA 每個滑架的總可用滾動元件數 Total available rolling element per cage
K 滑架長度 (mm) Cage length in mm

範例 6：每個滾子的等效負載 P

Example 6: Equivalent load P per roller

假設條件 (Assumption)：

  • 剛性結構 (Rigid structure)
  • 線性導軌型號 R 12 (Linear guides type R 12)
  • 滑架型號 AC 12，長度 K = 400 mm (Cage type AC 12, length K = 400 mm)

給定值：

  • F = 2'000 N
  • X = 500 mm
  • X1 = 200 mm
  • Q = 100 mm
  • C = 2'500 N（見第 5.1 章 AC 12 滑架的技術規格）
  • C = 2'500 N (see chapter 5.1. technical specifications for the AC 12 cage)
範例 6 R 12 導軌配置示意圖

圖 9：R 12 導軌與 AC 12 滑架配置示意圖，顯示參數 K、Kt、X、F、Q、X1

對於滾子滑架 AC 12，適用以下條件：

For the roller cage AC 12 the following applies:

計算負載長度 Kt

Kt = K - 2w
Kt = 400 - 22 = 378 mm

計算總滾子數 RA

RA = Kt/t + 1
RA = 378/18 + 1 = 22 滾子

計算負載滾子數 Rt

Rt = RA/2
Rt = 22/2 = 11 滾子

確定修正因子

由於 X > Kt，根據第 101 頁圖表：Rt/4

X > Kt = Rt/4 (according to the diagram on page 101)

RTQ = Rt = 11
RTL = Rt/4 = 11/4 = 2.75 滾子（向下取整為 2）
RTL = Rt/4 = 11/4 = 2.75 rollers (rounded down to 2)
計算每個滾子的等效負載 P：

Calculation for P per roller

橫向負載 (Load laterally)

PQ = (F · X1)/Q · (1/RTQ)
PQ = (2'000 · 200)/100 · (1/11)
PQ = 364 N

縱向負載 (Load longitudinally)

PL = (F · X)/(Kt · 2) · (1/RTL)
PL = (2'000 · 500)/(378 · 2) · (1/2)
PL = 662 N

總等效負載 (Total equivalent load)

P = PQ + PL
P = 364 + 662
P = 1'026 N

✓ P 小於 C，此設計是正確的。

P is smaller than C. The design is correct in this way.

符號說明 (Symbol Definitions)

W 從滑架起點到第一個滾動元件中心的距離 (mm) Distance from cage start to the middle of the first rolling element in mm
t 滑架分度 (mm) Cage division in mm
P 每個滾子的等效負載 (N) Equivalent load in N per roller
F 負載 (N) Load in N
X X 軸上的槓桿臂距離 (mm) Lever arm distance on x-axis in mm
X1 X 軸上的槓桿臂距離 1 (mm) Lever arm distance 1 on x-axis in mm
Q 線性導軌中心距離 (mm) Medium linear guideway distance in mm
C 每個滾動元件的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per rolling element in N
Rt 每個滑架的負載滾動元件數 Number of load-bearing rolling elements per cage
RA 每個滑架的總可用滾動元件數 Total available rolling element per cage
K 滑架長度 (mm) Cage length in mm
Kt 負載長度 (mm) Load-bearing length in mm
...L 縱向 Longitudinally
...Q 橫向 Laterally

範例 7：循環單元的等效負載 P

Example 7: Equivalent load P for recirculating unit

假設條件 (Assumption)：

  • 循環單元型號 SR 6-100 (Recirculating unit type SR 6-100)
  • 線性導軌型號 R 6 (Linear guideway type R 6)
  • 循環單元數量 Rt = 2（雙循環單元配置）
  • 負載 F = 6,000 N
  • C = 2,150 N（每個循環單元的最大允許負載能力，見第 6.3 章循環單元的技術規格）
範例 7 循環單元配置示意圖

圖 11：SR 6-100 循環單元雙單元配置示意圖

計算步驟：

步驟 1：理解循環單元負載分配

循環單元採用滾珠或滾子在閉合迴路中循環，負載由循環路徑中的滾動元件負載。對於對稱配置，負載首先在兩側平均分配。

步驟 2：計算單側負載

由於是對稱配置，負載在兩側平均分配：

F單側 = F/2 = 6,000/2 = 3,000 N

步驟 3：計算每個循環單元的等效負載 P

每側的負載再由該側的循環單元數量分配：

P = F單側/Rt
P = 3,000/2 = 1,500 N

或者，使用組合公式：

P = F · (1/2) · (1/Rt)
P = 6,000 · (1/2) · (1/2) = 1,500 N

✓ P (1,500 N) 小於 C (2,150 N)，因此此設計是正確的。安全係數 = 2,150 / 1,500 ≈ 1.43

符號說明 (Symbol Definitions)

P 每個循環單元的等效負載 (N) Equivalent load in N per recirculating unit
F 總負載 (N) Total load in N
C 每個循環單元的最大允許負載能力 (N) Max. permissible load carrying capacity per recirculating unit in N
Rt 循環單元數量 Number of recirculating units

範例 8：縱向和橫向的力矩負載 M

Example 8: Moment load M longitudinally and laterally

假設條件 (Assumption)：

  • 循環單元型號 SR 6-150 (Recirculating unit type SR 6-150)
  • 線性導軌型號 RD 6 (Linear guideway type RD 6)
  • 負載 F = 2,000 N
  • 力臂距離 X = 45 mm（負載作用點到對向力的距離）
  • ML = 112 Nm（允許的縱向和橫向力矩負載，根據第 6.3 章循環單元的技術規格）
範例 8 力矩負載示意圖

圖 12：循環單元力矩負載配置示意圖（顯示力 F 和力臂 X）

計算步驟：

步驟 1：理解力矩負載概念

當負載不直接作用在導軌中心線上時，會產生力矩負載。力矩負載 M 由作用力 F 和力臂距離 X 的乘積決定。

步驟 2：將力臂距離轉換為米

力矩計算需要將距離從毫米轉換為米：

X = 45 mm = 0.045 m

步驟 3：計算實際力矩負載 M

使用力矩公式 M = F × X：

M = F · X
M = 2,000 N · 0.045 m
M = 90 Nm

步驟 4：驗證力矩負載是否在允許範圍內

比較實際力矩負載與允許力矩負載：

  • 實際力矩負載：M = 90 Nm
  • 允許力矩負載：ML = 112 Nm
  • M < ML ✓

✓ 力矩負載 M (90 Nm) 低於允許負載 ML (112 Nm)，因此此設計是正確的。安全係數 = 112 / 90 ≈ 1.24

力矩負載注意事項：

Moment Load Consideration

力矩負載會對循環單元和導軌系統產生額外應力：

  • 力矩負載會導致不均勻的滾動元件負載分布
  • 過大的力矩會縮短系統壽命
  • 建議將力矩負載保持在允許值的 80% 以下
  • 考慮使用多個循環單元或增加導軌間距以減少力矩效應

符號說明 (Symbol Definitions)

M 實際縱向和橫向力矩負載 (Nm) Actual moment load longitudinally and laterally in Nm
ML 允許的縱向和橫向力矩負載 (Nm) Permissible moment load longitudinally and laterally in Nm
F 作用力 (N) Applied force in N
X 力臂距離 (m 或 mm) Lever arm distance in m or mm

範例 9：等效負載 PL 和 PQ

Example 9: Equivalent loads PL and PQ

假設條件 (Assumption)：

  • 循環單元型號 NRT 26 111（頂部）(Recirculating unit type NRT 26 111 (top))
  • 循環單元型號 NRT 19 077（底部和側面）(Recirculating unit type NRT 19 077 (bottom and side))

給定值：

  • C = 98'000 N（頂部循環單元）(top recirculating unit)
  • C = 43'000 N（底部和側面循環單元）(bottom and side recirculating units)
  • K = 700 mm
  • Kt = 450 mm
  • Rtmin = 0.5
  • F = 83'000 N
  • X = 500 mm
  • Y = 100 mm
範例 9 循環單元配置示意圖

圖 13：NRT 26 111 和 NRT 19 077 循環單元配置示意圖

計算步驟：

縱向負載 (Load longitudinally)

PL = (F · X)/(K · 2) · (1/Rtmin)
PL = (83'000 · 500)/(700 · 2) · (1/0.5) = 59'286 N

橫向負載 (Load laterally)

PQ = (F · Y)/(Kt · 2) · (1/Rtmin)
PQ = (83'000 · 100)/450 · (1/0.5) = 36'889 N
符號 說明（單位） English Description
P 每個滾子的負載 (N) Load per roller in N
PL 縱向等效負載 (N) Equivalent load longitudinally in N
PQ 橫向等效負載 (N) Equivalent load laterally in N
F 負載 (N) Load in N
X 縱向力臂距離 (mm) Lever arm distance longitudinally in mm
Y 橫向力臂距離 (mm) Lever arm distance laterally in mm
C 動態負載額定值 (N) Dynamic load rating in N
Rtmin 修正因子（最小值） Correction factor (minimum value)
K 滑架總長度 (mm) Overall cage length in mm
Kt 負載長度 (mm) Load-bearing length in mm
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